پاسخ فعالیت های صفحه 25 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه 25 حسابان یازدهم سلام! این یک اثبات مهم برای ویژگی **قدر مطلق حاصل‌ضرب** است. در واقع نشان می‌دهیم که قدر مطلق حاصل‌ضرب دو عدد برابر است با حاصل‌ضرب قدر مطلق آن دو عدد. ### اثبات $|ab| = |a||b|$ **گام ۱: استفاده از رابطه $\sqrt{x^۲} = |x|$** رابطه اساسی که از ما خواسته شده است، به صورت $\sqrt{x^۲} = |x|$ است. اگر به جای $x$، عبارت $ab$ را قرار دهیم: $$|ab| = \sqrt{(ab)^۲}$$ **گام ۲: ساده‌سازی زیر رادیکال** می‌دانیم که $(ab)^۲ = a^۲ b^۲$: $$|ab| = \sqrt{a^۲ b^۲}$$ **گام ۳: استفاده از خاصیت رادیکال** رادیکال حاصل‌ضرب را به حاصل‌ضرب رادیکال‌ها تبدیل می‌کنیم: $$|ab| = \sqrt{a^۲} \sqrt{b^۲}$$ **گام ۴: جایگذاری با قدر مطلق** با استفاده مجدد از رابطه $\sqrt{x^۲} = |x|$ برای هر یک از رادیکال‌ها: $$\sqrt{a^۲} = |a| \quad \text{و} \quad \sqrt{b^۲} = |b|$$ پس داریم: $$\mathbf{|ab| = |a||b|}$$ **نتیجه**: این اثبات نشان می‌دهد که **قدر مطلق حاصل‌ضرب** (مانند $|-۲ \times ۳| = |-۶| = ۶$) برابر است با **حاصل‌ضرب قدر مطلق‌ها** (مانند $|-۲| \times |۳| = ۲ \times ۳ = ۶$).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه 25 حسابان یازدهم آفرین! این اثبات نیز بر اساس ویژگی اثبات شده در قسمت قبل (قدر مطلق حاصل‌ضرب) و همچنین خواص جبری بنا شده است. این ویژگی می‌گوید که **قدر مطلق حاصل تقسیم** دو عدد برابر است با **تقسیم قدر مطلق‌های** آن دو عدد. ### اثبات $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ **گام ۱: استفاده از خاصیت ضرب** می‌توانیم عبارت $\frac{a}{b}$ را به صورت حاصل‌ضرب $a \times \frac{۱}{b}$ بنویسیم. حال از ویژگی اثبات شده در قسمت قبل ($|xy| = |x||y|$) استفاده می‌کنیم: $$\left|\frac{a}{b}\right| = \left|a \times \frac{۱}{b}\right| = |a| \left|\frac{۱}{b}\right|$$ **گام ۲: استفاده از $\sqrt{x^۲} = |x|$ برای $\left|\frac{۱}{b}\right|$** برای عبارت $\left|\frac{۱}{b}\right|$ نیز می‌توانیم از همان تعریف اصلی $\sqrt{x^۲}=|x|$ استفاده کنیم: $$\left|\frac{۱}{b}\right| = \sqrt{\left(\frac{۱}{b}\right)^۲} = \sqrt{\frac{۱}{b^۲}}$$ **گام ۳: ساده‌سازی و بازگشت به قدر مطلق** $$\sqrt{\frac{۱}{b^۲}} = \frac{\sqrt{۱}}{\sqrt{b^۲}} = \frac{۱}{|b|}$$ **گام ۴: جایگذاری در رابطه نهایی** حالا این نتیجه را در عبارت گام ۱ جایگذاری می‌کنیم: $$\left|\frac{a}{b}\right| = |a| \left|\frac{۱}{b}\right| = |a| \times \frac{۱}{|b|}$$ $$\mathbf{\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}}$$ **نتیجه**: با استفاده از ویژگی قدر مطلق حاصل‌ضرب و تعریف قدر مطلق، تساوی قدر مطلق حاصل تقسیم نیز ثابت شد.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه 25 حسابان یازدهم سلام! این فعالیت بسیار مهم است و به شما کمک می‌کند تا نحوه تبدیل **نامعادلات قدر مطلقی** به **نامعادلات جبری ساده** و نمایش آن‌ها روی **محور اعداد** را درک کنید. به یاد داشته باشید که $|x|$ نشان‌دهنده **فاصله $x$ از مبدأ (صفر)** است. ### مفاهیم کلیدی * **$|x| < c$**: فاصله $x$ از صفر، کمتر از $c$ است. (نواحی داخلی) * **$|x| > c$**: فاصله $x$ از صفر، بیشتر از $c$ است. (نواحی خارجی) * **دایره توپر (•)**: نشان‌دهنده شمول حد مرزی ($\le$ یا $\ge$) * **دایره توخالی (o)**: نشان‌دهنده عدم شمول حد مرزی ($<$ یا $>$) *** | نامعادله | مفهوم | نمایش روی محور (جواب) | شماره شکل متناظر | | :---: | :--- | :---: | :---: | | **الف) $|x| < c$** | $x$ در فاصله‌ای کمتر از $c$ از صفر قرار دارد و خود $c$ را شامل نمی‌شود. | $-c < x < c$ | **(۲)** | | **ب) $|x| > c$** | $x$ در فاصله‌ای بیشتر از $c$ از صفر قرار دارد و خود $c$ را شامل نمی‌شود. | $x > c$ یا $x < -c$ | **(۳)** | | **پ) $|x| \le c$** | $x$ در فاصله‌ای حداکثر $c$ از صفر قرار دارد و خود $c$ را شامل می‌شود. | $-c \le x \le c$ | **(۱)** | | **ت) $|x| \ge c$** | $x$ در فاصله‌ای حداقل $c$ از صفر قرار دارد و خود $c$ را شامل می‌شود. | $x \ge c$ یا $x \le -c$ | **(۴)** | *** **نتیجه اتصال**: * **الف به (۲)**: $-c < x < c$ * **ب به (۳)**: $x > c$ یا $x < -c$ * **پ به (۱)**: $-c \le x \le c$ * **ت به (۴)**: $x \ge c$ یا $x \le -c$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه 25 حسابان یازدهم این یک رابطه اساسی و شهودی در مورد **قدر مطلق** است. این رابطه نشان می‌دهد که هر عدد حقیقی $a$ همواره بین **قرینه قدر مطلقش** ($-|a|$) و **قدر مطلقش** ($|a|$) قرار دارد. ### اثبات $-|a| \le a \le |a|$ برای اثبات این نامساوی سه‌گانه، باید دو حالت اصلی را برای عدد حقیقی $a$ در نظر بگیریم: #### حالت ۱: اگر $a$ نامنفی باشد ($\mathbf{a \ge ۰}$) * **تعریف قدر مطلق:** اگر $a \ge ۰$ باشد، آنگاه $\mathbf{|a| = a}$. * **بررسی نامساوی سمت راست ($a \le |a|$):** $$a \le a$$ (که همیشه برقرار است) * **بررسی نامساوی سمت چپ ($-|a| \le a$):** $$-a \le a \implies ۰ \le ۲a$$ چون فرض کردیم $a \ge ۰$ است، $۲a \ge ۰$ نیز درست است. #### حالت ۲: اگر $a$ منفی باشد ($\mathbf{a < ۰}$) * **تعریف قدر مطلق:** اگر $a < ۰$ باشد، آنگاه $\mathbf{|a| = -a}$. * **بررسی نامساوی سمت راست ($a \le |a|$):** $$a \le -a \implies ۲a \le ۰$$ چون فرض کردیم $a < ۰$ است، $۲a < ۰$ نیز درست است. * **بررسی نامساوی سمت چپ ($-|a| \le a$):** با جایگذاری $|a| = -a$، داریم: $$-(-a) \le a$$ $$a \le a$$ (که همیشه برقرار است) چون این نامساوی در هر دو حالت برقرار است، پس برای **هر عدد حقیقی $a$**، رابطه زیر برقرار است: $$\mathbf{-|a| \le a \le |a|}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۵ صفحه 25 حسابان یازدهم این اثبات، یک گام پیشرفته‌تر نسبت به فعالیت قبلی است و مقدمه‌ای برای اثبات **نامساوی مثلث** در قسمت بعد است. این نامساوی نشان می‌دهد که **مجموع دو عدد**، همواره بین مجموع **قرینه قدر مطلق‌های** آن‌ها و مجموع **قدر مطلق‌های** آن‌ها قرار دارد. ### اثبات $-|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b|$ ما از نتیجه فعالیت قبل استفاده می‌کنیم، که می‌گفت: $$\mathbf{-|x| \le x \le |x|} \quad \text{برای هر عدد حقیقی } x$$ این نامساوی را برای هر دو عدد $a$ و $b$ می‌نویسیم: 1. برای عدد $a$: $$-|a| \le a \le |a|$$ 2. برای عدد $b$: $$-|b| \le b \le |b|$$ حالا، این دو نامساوی را **با هم جمع** می‌کنیم. (جمع دو نامساوی، یک نامساوی جدید می‌سازد): $$\underbrace{-|a| + (-|b|)}_{\text{جمع کران‌های پایین}} \le \underbrace{a + b}_{\text{جمع دو عدد}} \le \underbrace{|a| + |b|}_{\text{جمع کران‌های بالا}}$$ با ساده‌سازی عبارت‌ها، به نامساوی مورد نظر می‌رسیم: $$\mathbf{-|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b|}$$ **نتیجه**: این اثبات از خاصیت کران‌دار بودن هر عدد حقیقی توسط قدر مطلق خودش، برای گسترش آن به مجموع دو عدد استفاده می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۶ صفحه 25 حسابان یازدهم **نامساوی مثلث** (Triangle Inequality) یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های قدر مطلق است که کاربردهای فراوانی در ریاضیات دارد. این نامساوی به ما می‌گوید که **قدر مطلق مجموع دو عدد، همواره کوچکتر یا مساوی با مجموع قدر مطلق‌های آن‌ها است**. ### نتیجه‌گیری $|a + b| \le |a| + |b|$ **گام ۱: استفاده از نتیجه فعالیت قبل** از فعالیت قبلی (فعالیت ۵)، نتیجه گرفتیم که: $$-|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b|$$ عبارت $-\big(|a| + |b|\big)$ را به جای $-|a| - |b|$ و عبارت $|a| + |b|$ را به جای کران بالا قرار می‌دهیم: $$\mathbf{-\big(|a| + |b|\big) \le a + b \le |a| + |b|}$$ **گام ۲: استفاده از تعریف نامعادله قدر مطلقی** ما از فعالیت ۱ می‌دانیم که نامساوی سه‌گانه $-c \le x \le c$ معادل با نامعادله قدر مطلقی $\mathbf{|x| \le c}$ است. در اینجا: * **$x$** (عبارت وسط) برابر است با: $\mathbf{a + b}$ * **$c$** (کران بالا) برابر است با: $\mathbf{|a| + |b|}$ با جایگذاری این عبارات در $\mathbf{|x| \le c}$، مستقیماً به نامساوی مثلث می‌رسیم: $$\mathbf{|a + b| \le |a| + |b|}$$ **نتیجه**: نامساوی مثلث ثابت شد. این نامساوی به زبان ساده می‌گوید که "**مسیر مستقیم (قدر مطلق مجموع) همواره کوتاه‌تر یا مساوی با مسیرهای غیرمستقیم (مجموع قدر مطلق‌ها)**" است.